せつなのブログ

理系大学生のブログ ゲームとか学問の話をしていけたらなーと思っています

ベクトルの図形的意味 内積の幾何学的意味

 今日はベクトルについて少々。

  

 ベクトルだとか内積だとか何の理由で扱うのか、数式は追えるけど意味が分からないという方向けに。目に見えるように意味を考えます。

 

 今回もできるだけ数式を使わない、直感的な説明を心がけて書いていきます。

 ベクトルとは

何なんだ

 ベクトルとは、向きと大きさを持つ対象のことです。

 要は矢印のことです。

 

 日常の言葉でいうとこれだけですが、数学で扱う対象として考えるにはより多くの定義や性質を理解しなくてはなりません。

 ですが、それらはどれも"当たり前のこと"を"数式で表現"しているだけなので、

    

   ベクトル=矢印   

   

は単純ですが実に的を得た説明なのです。

 

何で考えるんだ 

日常のベクトル

 気付いていないだけで、実は日常生活でベクトルを使っています。

 

 目的地まで移動する際、北に2km・東に3kmなどの言い方をしますよね。

 この表現には、ベクトルの考え方が既に混入しています。

 だって東西南北という「方向」に、何キロメートルという「大きさ」があるじゃないですか。

 

もっと便利に

 東西南北を使えば、方向をあらわせます。

 地球上ではそれでいいでしょう。

 では、空を飛ぶ飛行機は?地球を離れた宇宙空間ではどうでしょうか。宇宙には北とかはありませんから、方向を考え直す必要があります。

 これが数学でベクトルを扱う利点になってきます。

 つまり、地球上に限らずどんな場所でも向きを扱えるのがベクトルの強みです。

 

内積とは ベクトル同士の演算

内積幾何学的意味

 目的地までの距離といったときに、北に~km,東に~kmなどと言わずに、北東へ~kmといいますよね?

 逆に言えば北東に~kmというのは、北に~km,東に~kmと分解して言えるわけです。

 

 実は内積とは、"北東"を北と東に分解する手順のことです。

内積公式の意味

 代表的な公式は、2つのベクトル \boldsymbol{a},\boldsymbol{b}がなす角を\thetaとした

 \boldsymbol{a}・ \boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta

 でしょう。なぜ右辺にコサインが…という人向けのパートです。

コサインの理由

 簡単な例を見るのが早いので、\boldsymbol{b}は東を向いている大きさ1のベクトルとしましょう。

 斜辺の大きさが|\boldsymbol{a}|で、斜辺と底辺のなす角が\thetaの直角三角形を思い浮かべてください。底辺の長さは三角関数を使って|\boldsymbol{a}|\cos\thetaと書けます。

 すると|\boldsymbol{a}|\cos\thetaというのはベクトル\boldsymbol{a}を北と東に分解したとき、「どれだけ東に向いているか」を表していることになります。

 

 これこそが、内積が分解であることを示す証拠になっています。

 要は矢印を直角三角形の斜辺と思っているから\cos\thetaが登場するわけですね。

まとめ

 ベクトルについて記事を書きました。

 おおまかには

  • ベクトルは難しくない!日常で使われる考えと同じ 
  • 内積とは北東を北と東に分解しているだけ
  • 内積の公式の三角関数は直角三角形を考えるとすぐにわかる

 でした。