せつなのブログ

理系大学生のブログ ゲームとか学問の話をしていけたらなーと思っています

微積分を使った力学 受験物理の公式導出

 物理学というものは"変化"を扱います。

 後述するように、対象がどのように変化するかを扱うためには微積分が必要になります。

 

 

 一方で大学受験の物理では、微分積分という概念を用いずに話を進めています。

 代わりに、状況に応じた公式に値を代入して解く手法が用いられています。

 

 公式は非常に多くあります。

 試験時間中に公式をあてはめて問題を解くには、公式の丸暗記が不可欠です。

 

 このような受験物理の賛否は置いておき、丸暗記では公式を忘れることもあり、負号や係数を間違えることもあるでしょう。

 

 これを防ぐには、公式がどのように導出されるか簡単に見る必要があります。

 

 今回は速度・加速度の定義、等加速度運動の公式、エネルギー保存の法則を導出します。

 

 

 力学の簡単な公式導出

下準備

 導出するとはいえ、何もないところから公式がでてくるわけではありません。

 前提が必要になります。

速度と加速度

 位置は目に見えます。物体の場所ですね。

 

 では、速度と加速度はどうでしょうか。

 よく知る速度は、異なる時間の位置を平均することで得られます。

 \frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}=v(t_0)

 

 この公式が常に正しいとは限りません。

 式を厳密に書くと

 \frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}=v(t_1,t_0)

 となるからです。

 ある時刻t_0での速度を見るために用意した、便宜上の時間t_1に依存します。

 これだと速度が一意に決まりません。

 

 自分が知りたい時刻t_0での値をとるには、便宜上の時刻t_1t_0に近づければよいわけです。

\lim_{t_1\rightarrow t_0}\frac{x(t_1)-x(t_0)}{t_1-t_0}=v(t_0)

 

 どんな時刻でも同じ関係式が成り立つので

\lim_{t_1\rightarrow t}\frac{x(t_1)-x(t)}{t_1-t}=v(t)

 となります。

 左辺は微分の定義に他ならないので、

        速度は位置の時間微分で与えられるわけです。

\frac{dx}{dt}=v(t)

 

 同じようにして加速度が与えられます。

\frac{dv}{dt}=\frac{d^2x}{dt^2}=a(t)

ニュートンの運動方程式

 よく見るニュートンの運動方程式は次のように書かれます。*1

m\frac{d^2x}{dt^2}=F

 力を数式であらわせれば位置が決定できるというのが方程式の意味です。

 

 力学のほとんどの公式は運動方程式から導出できます。

 

 等加速度直線運動

 等加速度直線運動とは、数式だと a(t)=a_0と書かれます。

 加速度が常に一定値をとる運動です。

 

 加速度と速度の関係式を積分すれば公式が得られます。

  \int_{t_0}^{t} \frac{dv}{dt} dt=\int_{t_0}^{t}a_0 dt

 積分を実行して

 v(t)-v(t_0)=a_0 (t-t_0)

 

 同じことを\frac{dx}{dt}=v(t)にすれば、もう一つの公式が得られます。

  \int_{t_0}^{t} \frac{dx}{dt'} dt'=\int_{t_0}^{t}v(t') dt'

 \leftrightarrow x(t)-x(t_0)=a_0 \frac{1}{2}(t-t_0)^2+v(t_0)(t-t_0)

エネルギー保存則

 運動方程式の両辺に速度を掛け、時間積分します。

 \int_{t_0}^{t} mv(t)\frac{dv}{dt}dt=\int_{t_0}^{t} \frac{dx}{dt}F dt

 今、力が何かの位置微分F=-\frac{dV}{dx}で書かれるとすれば、積分が実行できます。

 \frac{m}{2}v^2(t)-\frac{m}{2}v_0^2=-V(t)+V(t_0)

 エネルギー保存則は両辺を整理して得られます。

 \frac{m}{2}v^2(t)+V(t)=\frac{m}{2}v_0^2+V(t_0)

 

 具体例として、ばねの力F=-kxではV=\frac{k}{2}x^2が対応しているので、エネルギー保存則の具体系は次のように書かれます。

 \frac{m}{2}v^2(t)+\frac{k}{2}x^2(t)=\frac{m}{2}v_0^2+\frac{k}{2}x_0^2

 

まとめ

 力学の公式を導出しました。

  • 速度、加速度は位置の時間微分で書かれる
  • ニュートンの運動方程式を解くことで公式が得られる。
  • 等加速度直線運動の公式、エネルギー保存則を導出 

 他の様々な公式も、運動方程式などから導出することができます。

*1:mが質量、Fが力になります