せつなのブログ

理系大学生のブログ ゲームとか学問の話をしていけたらなーと思っています

微分方程式について その意味と解き方

 今日の記事は微分方程式についてです。

 

 微分自体は高校数学の範囲ですが、微分方程式は含まれていません。

 

 この記事では微分方程式の意味と簡単な例の解き方を見ます。

 

 

  

 微分方程式の意味

微分であらわされる量

 微分とは、微小時間での変化量のことをいいます。

 微分であらわされる量は数多くありますが、代表的な量として速度・加速度があります。速度は位置の時間微分、加速度は速度の時間微分に対応しています。

 

 これは過去の記事で扱いました。

 

 

www.y-setsuna.com

 

 このような量の間に成り立つ関係式が微分方程式です。

 

 例えば

 a(t)=\frac{dv}{dt}という関係式も微分方程式の一種です。

 

 さらにニュートンの運動方程式m\frac{d^2x}{dt^2}=Fも微分方程式です。

 

 

微分方程式は解けるのか

 微分方程式を解くとは、考えている変数をパラメータの関数として表示することをいいます。

 ばねの運動方程式の例だとm\frac{d^2x}{dt^2}=-kxからx(t)=A\sin(\sqrt{\frac{k}{m}}t+\theta_0)を導出することを言います。

 

 ただ適当に微分方程式を書き下しても、それが解けるとは限りません。

 一見簡単そうに見える方程式でも、答えが複雑になることが常です。

 例えば\frac{d^2x}{dt^2}-tx=0x(t)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty dy \cos(\frac{y^3}{3}+yt)を解の一つに持ちます。*1

 

 特殊な例だと、微分方程式を簡単に解くことができます。

 そういった例を見てみましょう。 

 

簡単に解ける微分方程式

一階微分のみを含む微分方程式

 まずは \frac{dy}{dx}=a(x)yを解いてみます。

 両辺をyで割ってからxで積分します。

  \int \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}dx=\ln(y)

 右辺は\int a(x)dxですから、僕らの欲しい解は

 y(x)=e^{\int a(x)dx}

 となります。

 

定数係数の二階微分方程式

 次は\frac{d^2y}{dx^2}+2a\frac{dy}{dx}+by=0を解きます。ただし、a,bは定数でありa^2-b\neq 0とします。

 このような微分方程式は \frac{d}{dx}e^{cx}=ce^{cx}であることに気付くと簡単に解けます。

 そう、\lambda_1,\lambda_2 t^2+2at+b=0の異なる2解とすれば

 y=Ae^{\lambda_1 x}+Be^{\lambda_2}

 が一般解となります。

 

まとめ

  • 微分方程式とは、微分であらわされる量の関係式
  • 微分方程式が単純な形をしていても、その解も簡単になるわけではない
  • 特殊な微分方程式は簡単に解くことができる 

 

*1:このようなx(t)はエアリー関数と呼ばれている